29/09/2015

Le minimum théorique

enseigner,george hrabovsky,léonard susskind,loi d'évolution,minimum théorique,physique,physique classique,système dynamique,système réversibleJ’ai toujours aimé expliquer la Physique. Pour moi c’est beaucoup plus qu’enseigner. C’est une façon de penser. Même quand je suis à mon bureau en train de faire de la recherche, un dialogue se déroule dans ma tête. Trouver la meilleure façon d’expliquer quelque chose est presque toujours la meilleure façon de la comprendre soi-même aussi.


 

 

 

 

Leçon 1: La nature de la physique classique

Quelque part au pays de Steinbeck deux hommes fatigués sont assis au bord de la route. Lenny passe la main dans sa barbe et dit : « Parle-moi des lois de la physique, George. » George regarde par terre un moment, puis fixe Lenny par dessus ses lunettes. « D’accord, Lenny, mais seulement le minimum. »

Qu'est-ce que la physique classique?

4815:couv.pngLe terme physique classique s’applique à la physique avant l’avènement de la physique quantique. La physique classique inclut les équations de Newton décrivant le mouvement des corps, la théorie de Maxwell-Faraday sur les champs électromagnétiques, et la théorie de la relativité générale d'Einstein. Mais la physique classique est plus qu'une collection de théories spécifiques sur des phénomènes particuliers; c'est un ensemble de principes et de règles - avec une logique sous-jacente - qui gouverne tous les phénomènes dans lesquels l'incertitude quantique ne joue aucun rôle. Ces règles générales forment ce que l'on appelle la mécanique classique.

L’objectif de la mécanique classique est de prédire l'avenir. Le grand physicien et mathématicien du XVIIIe siècle Pierre-Simon Laplace l'a dit dans une phrase célèbre: Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces donc la nature est animée, et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'Analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome: rien ne serait incertain pour elle et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux.

En physique classique, si vous avez une connaissance complète d’un système à un moment donné et si vous connaissez aussi les lois qui gouvernent l’évolution du système, vous pouvez prédire l’avenir. C’est ce que l’on veut dire par « les lois classiques de la physique sont déterministes ». Si c’est encore vrai avec le passé et l’avenir interchangés, les mêmes équations vous renseignent aussi totalement sur le passé. Un tel système est dit réversible.

Systèmes dynamiques simples et espace des états

Une collection d’objets – particules, champs, ondes, ou quoi que ce soit – est appelé un système. Un système qui est soit l’univers entier, soit suffisamment isolé du reste pour se comporter comme si rien d’autre n’existait, est un système fermé.

Pour mieux comprendre ce que déterministe et réversible signifient, nous allons commencer par des systèmes fermés extrêmement simples. Ils seront beaucoup plus simples que ce qu’on étudie habituellement en physique, mais ils seront régis par des règles qui seront des versions rudimentaires des lois de la mécanique classique. Nous commençons par un exemple tellement simple qu’il en est trivial. Imaginez un objet concret ou abstrait qui a un seul état. Pensez à une pièce de monnaie collée sur cette table, et montrant pour toujours le côté face. Dans le jargon de la physique, la collection des états possibles dans lesquels peut se trouver un système est appelée son espace des états. L’espace des états n’est pas l’espace ordinaire; c’est un ensemble mathématique dont les éléments consistent en les états possibles du système. Dans notre premier exemple l’espace des ́etats a un seul élément – face, qu’on notera H – car le système n’a qu’un seul état. Prédire l’avenir du système est particulièrement simple : rien ne changera jamais et le résultat de n’importe quelle observation sera toujours H.

Le deuxième exemple dans l’ordre de simplicité a un espace des états formé de deux éléments. Maintenant nous avons un objet et deux états possibles. Imaginez une pièce qui peut montrer face ou pile (qu’on notera H ou T).

En mécanique classique on fait l’hypothèse que les systèmes évoluent de manière continue, sans sauts ni interruptions. Manifestement on ne peut pas passer de pile à face de manière continue. Le mouvement dans ce cas se déroule par sauts discrets. Supposons que le temps lui-même s’écoule non pas de manière continue, mais par pas discrets passant d’un temps au suivant, indexés par les nombres entiers. Un monde dont l’évolution est discrète pourrait être appelé stroboscopique.

Un système qui change avec le temps est un système dynamique. Pour le décrire, un espace des états n’est pas suffisant ; il faut aussi une loi d’évolution, ou loi de mouvement, encore appelée parfois loi dynamique. La loi de mouvement est une règle qui nous dit quel sera le prochain état du système quand on sait dans quel état il se trouve maintenant.

Un exemple de loi de mouvement particulièrement simple est celle qui dit que quel que soit l’état du système à un instant donné, l’état de l’instant suivant sera le même. Il y a alors deux chronologies possibles:H H H H H H...et T T T T T T... Une autre loi de mouvement est celle qui dit que quel que soit l’état présent, le suivant sera l’autre état.

On peut écrire ces lois d’évolution (encore appelée lois de mouvement) à l’aide d’équations. Les variables décrivant un système s’appellent ses degrés de liberté. Notre pièce de monnaie a un degré de liberté, qu’on peut noter avec la lettre grecque sigma, σ. Sigma ne peut prendre que deux valeurs possibles; par exemple choisissons σ = 1 pour H, et σ = −1 pour T. Il nous faut aussi un symbole pour prendre en compte le temps. Quand on étudie un système où le temps est continu, on utilise en général le symbole t. Ici nous étudions des évolutions discrètes et nous utiliserons le symbole n. L’état au temps n est décrit par le symbole σ(n), qui veut dire σ à l’instant n.

Ecrivons les équations d’évolution pour les deux lois. La première dit que rien ne change avec le temps. Sous forme d’équation, on écrit

σ(n+1) = σ(n)

Autrement dit, quelle que soit la valeur de σ au n-ième instant, cette variable aura la même valeur à l’instant suivant.

La deuxième loi d’évolution a la forme

σ(n+1) = -σ(n)

signifiant que l’état change pour son opposé quand on passe d’un instant au suivant.

Puisque dans chaque cas le comportement à venir est complètement déterminé par l’état initial, ces deux lois sont déterministes. Toutes les lois fondamentales de la mécanique classique sont déterministes.

Lois interdites: la Loi n°-1

Dans le cadre de la physique classique, toutes les lois ne sont pas « constitutionnelles ». Il n’est pas suffisant pour une loi d’évolution d’être déterministe, il faut aussi qu’elle soit réversible.

Il y a plusieurs façons d’expliquer dans le contexte de la physique le mot réversible. La plus concise est de dire que si vous inversez toutes les flèches dans le diagramme montrant l’espace des états et la loi d’évolution d’un système, la nouvelle loi qui en résulte est encore déterministe. Une autre formulation est de dire que les lois sont déterministes dans le passé comme dans l’avenir. Peut-on concevoir des lois qui soient déterministes dans l’avenir, mais pas dans le passé? En d’autres termes, peut-on énoncer des lois irréversibles ? Eh bien, oui, c’est possible. Regardez la figure suivante.

Exemple de système irréversible

Où que nous soyons, la loi de cette figure nous dit bien où aller ensuite. Si vous démarrez à 1, allez à 2. Si vous êtes à 2, allez à 3. Si vous êtes à 3, allez à 2. Il n’y a pas d’ambigüité quant à l’avenir. Mais pour le passé, c’est une autre affaire. Supposez que vous soyez à l’état 2. Où étiez-vous l’instant d’avant ? Vous pouvez être venu de 3 ou bien de 1. Le diagramme ne l’indique pas. Pire encore en termes de réversibilité, il n’y a aucun état qui conduise à 1; il n’a pas de passé! La loi de la figure précédente est irréversible. Cela illustre le genre de situation prohibée par les principes de la physique classique

Notez d’ailleurs que si vous inversez toutes les flèches, la nouvelle loi ne dit pas où aller dans l’avenir.

Exemple de système non déterministe dans l'avenir

Il existe une règle très simple pour vérifier si un diagramme représente une loi déterministe et réversible, ou pas. Si chaque état a une seule flèche arrivant vers lui, et une seule flèche qui en part, alors il s’agit d’une loi légale déterministe réversible. Retenons cette devise : il doit y avoir une flèche vous disant où aller et une flèche vous disant d’où vous venez.

Le principe selon lequel les lois dynamiques doivent être déterministes et réversibles est tellement fondamental dans toute la physique classique que nous en oublions parfois de le mentionner dans nos cours. Il n’a d’ailleurs même pas de nom. Nous pourrions l’appeler la première loi, mais il y a malheureusement déjà deux premières lois – celle de Newton, et la première loi de la thermodynamique. Il existe même une loi n°0 de la thermodynamique. Aussi il nous faut l’appeler la Loi n° -1 afin de rétablir la priorité de ce qui est sans aucun doute la loi la plus fondamentale de toutes les lois de la physique – la conservation de l’information. C’est simplement la règle selon laquelle chaque état a une flèche entrante et une flèche sortante. Cela garantit que vous ne perdiez jamais de vue, même au bout d’un certain temps, d’où vous êtes parti.

Extrait du titre Le minimum théorique - Ce qu'il faut savoir pour commencer à faire de la physique 
De Léonard Susskind et George Hrabovsky 
Publié aux PPUR

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