28/10/2013

Le Théorème de Pythagore: Epistémologie et efficacité pédagogique

« Du fait de la découverte (sur la similitude), le théorème de Pythagore perd son privilège historique », remarque Bachelard. « Ou plutôt, on voit apparaître la notion de privilège épistémologique. L’épistémologie nous enseigne une histoire scientifique telle qu’elle aurait dû être. L’épistémologie nous situe alors dans un temps logique, aux raisons et aux conséquences bien placées, dans un temps logique qui n’a plus les lenteurs de la réelle chronologie.

Ce temps logique a une rapidité délicieuse. Il nous fait acquérir un des bonheurs du rationalisme actif. Les idées sont dans un tel ordre rationnel que leur dénombrement peut être resserré en un laps de temps très court. »


Cette vision du théorème de Pythagore illustre deux aspects essentiels du développement des sciences :

1) Des mathématiques plus poussées simplifient le travail ! Feynman signalait que l’usage d’outils mathématiques avancés permet d’exprimer en termes simples des concepts complexes. Le cas de l’algèbre linéaire en fournit un exemple notoire. Si on remonte assez loin dans le temps, quelques décennies, on constate que l’algèbre linéaire n’était pas enseignée aux ingénieurs, parce ce chapitre des mathématiques était considéré comme trop abstrait. De nos jours, tous les ingénieurs en apprennent les bases car ils les utilisent pour aborder une grande variété de situations, par exemple l’analyse des circuits électroniques ou des modes vibratoires de structures complexes.

2) L’enseignement des sciences évolue un peu à la manière de la démonstration du théorème de Pythagore. L’enseignement de la physique en particulier s’attache à dégager les outils conceptuels et ne les met en pratique que dans quelques exemples seulement. Le ramassis de connaissances est évité. Le temps « logique » est tout à fait caractéristique de l’enseignement des sciences. De nos jours, il est possible par exemple d’enseigner toutes les bases de l’électromagnétisme en un semestre. Les développements chronologiques sont comme court-circuités. Ils sont remplacés par l’énoncé de lois dont les conséquences peuvent être détaillées ou omises.

L’explication scientifique, telle qu’elle est perçue par le grand public, se contente souvent du réductionnisme : un phénomène est expliqué quand il peut être décomposé en éléments premiers. Cette vue des sciences est souvent invoquée dans les sciences du vivant. C’est d’ailleurs dans cette perspective que Wilson définit la science: « La clé de la science, c’est le réductionnisme, le découpage de la nature en ses constituants naturels ». En fait, ce découpage n’est qu’une première approche, celle qui suit l’émerveillement devant la chose observée. Elle commence l’analyse, mais ne conclut pas le travail scientifique.

Ces étapes du processus scientifique se retrouvent dans l’enseignement préconisé par Charpak: « Le réductionnisme, pratiqué plus ou moins ainsi, est l’activité primordiale et essentielle de la science. Mais les scientifiques ne se contentent pas de disséquer et d’analyser. Ils produisent des synthèses et des globalisations, et ils s’interrogent sur leur valeur. » Le passage inductif du fatras des faits à l’énoncé d’une loi est une œuvre de création qui peut exiger du génie, comme l’évoque Mach à propos de la gravitation de Newton. Feynman confirme : « La science moderne est exactement dans la tradition de la découverte de la loi de la Gravitation. Le point essentiel de la science moderne est cette idée de considérer quelque chose, d’en enregistrer les détails, et d’espérer que dans l’information ainsi obtenue se trouve un certain indice d’une interprétation théorique. »

Le temps et l’espace depuis Newton

L’œuvre de Isaac Newton, les Principia, commence par introduire la notion d’espace et la notion de temps. Cette œuvre vaut que l’on se consacre à sa lecture ! Cependant, la discussion qui y est développée n’apporte ni un éclairage révélateur, ni didactique, pas plus sur la question du temps que sur le choix des référentiels.
Avec l’avènement de la théorie de la relativité, les notions « classiques » d’espace et de temps de Newton prennent un sens tout particulier, par contraste avec les visions nouvelles. Ce sont ces notions « classiques » que nous voulons discuter ici. Nous suivons les grandes lignes de l’essai de synthèse de la physique, composé par Einstein.
Poincaré avait remarqué qu’avec un certain niveau d’approximation il est possible de décrire des objets matériels qui se déplacent (ou qu’on déplace) dans l’espace, sans qu’on ait à se soucier d’un changement de leur état. Cette vision joue un rôle central dans notre concept usuel d’espace ! Dans la mesure oû de tels corps rigides existent, la géométrie euclidienne peut être vue comme une science physique dont la validité est testée à l’aide de la disposition des corps rigides dans l’espace. Ainsi cette notion de corps rigide est intimement liée à notre concept de l’espace tel qu’il apparaît implicitement dans la mécanique rationnelle. Bien sûr la signification de la géométrie euclidienne (pour la physique) réside dans le fait que ces prédictions sont indépendantes du choix des objets rigides.
Einstein remarque que la notion du temps en mécanique rationnelle s’instaure en deux étapes. D’abord on se réfère à une horloge. Ensuite, la mesure du temps que celle-ci fournit est étendue à tout l’espace. C’est sur ce deuxième point que la théorie de la relativité rompt avec la tradition. Einstein nous met en garde:
« Le fait d’“hypostasier” ainsi des concepts (de leur donner une autonomie) ne tourne pas nécessairement au désavantage de la science, mais on commet facilement l’erreur de considérer de tels concepts, dont l’origine a été oubliée, comme des nécessités intellectuelles et, partant, de les tenir pour immuables, ce qui peut constituer une sérieuse menace pour le progrès de la science. »
Selon Einstein, nous sommes victimes du préjugé qui veut que la simultanéité d’événements est une notion absolue, donc une connaissance a priori parfaitement claire. L’origine de ce préjugé réside dans l’expérience de notre vie quotidienne, parce que nous y négligeons le temps de propagation de la lumière.

Sur la trace des anciens

Aristote
Diogène Laerte disait de lui qu’il avait un défaut de prononciation, que ses jambes étaient maigres, ses yeux petits et qu’il attirait l’attention par son accoutrement, ses bagues et sa coupe de cheveux.
Aristote étudie avec Platon à Athènes pendant 20 ans. A 49 ans, il fonde le Lyceum. Alexandre lui offre un support financier considérable. Il aurait exigé des pêcheurs et des chasseurs du royaume d’informer Aristote de tous les faits qui pourraient l’intéresser. Il est amusant de constater qu’en fin du xxe siècle, le Prix Nobel Pierre-Gilles de Gennes préconisait, dans un discours à la Sorbonne intitulé « De la fermeture éclair au laser », que les professeurs fassent des séjours dans l’industrie pour y découvrir les problèmes fondamentaux posés par la pratique industrielle.
Aristote écrivit beaucoup. En ce qui concerne la chute des corps, une analyse moderne des textes anciens ne permet pas de dire si, pour Aristote :
• les corps tombaient en proportion de leur poids,
• le vide était impossible,
• s’il existait un vide, tous les corps tomberaient à la même vitesse dans le vide.


A la mort d’Aristote, ses notes furent vendues à la librairie d’Alexandrie. Après le iie siècle de cette ère, peu de nouveaux textes furent produits. Seuls des commentaires et des encyclopédies virent le jour.
Du viie au xe siècle, les anciens documents étaient recopiés, perdus et altérés dans les monastères. Du xe au xiie siècle, les textes anciens furent enseignés à nouveau. Les erreurs de copie et de traduction entraînèrent de grandes confusions. Les experts d’alors concentraient toute leur énergie à essayer de déterminer ce qui était vraiment dit dans les textes originaux. L’Eglise d’abord considéra avec suspicion les textes anciens ainsi redécouverts. Puis, grâce en particulier à saint Thomas d’Aquin, la conception aristotélicienne du monde entra dans les visions chrétiennes instaurées par l’Eglise. Dès lors, toute attaque contre Aristote était une attaque contre l’Eglise elle-même.
A cause de ce long et tortueux processus de transmission des pensées et des travaux d’Aristote, Galilée pouvait citer Aristote sous le pire éclairage, lui faisant dire que le mouvement vers le bas d’une masse d’or ou de plomb, ou de n’importe quel objet pesant, est d’une rapidité en proportion de sa taille.
La « tabula rasa » de Descartes doit aussi être envisagée dans ce contexte d’explosion d’un carcan vieux de 500 ans ou` toute pensée, toute observation et toute connaissance étaient confinées à ce qui était écrit « dans Aristote ». Descartes tenta de construire une vision du monde. Il vit l’univers tout entier, sauf peut-être Dieu et l’âme humaine, comme une vaste machine. Dieu créa la matière et lui impartit le mouvement ; depuis, le monde évolue selon les lois de la mécanique.

La science de Galilée
Galilée écrivit un traité sur le mouvement. Il s’agit d’un dialogue entre le maître, un observateur neutre et ouvert, et un représentant des vues traditionnelles.Il définit le mouvement rectiligne uniforme comme étant le mouvement « naturel ». Toute déviation de cette uniformité sera attribuée à une force. Il définit le mouvement rectiligne uniformément accéléré. Pour lui, cette définition est utile, parce qu’elle représente un mouvement qui s’observe dans la nature : la chute des corps. Et il le prouve expérimentalement. Deux billes sont lâchées simultanément, l’une sans vitesse initiale, l’autre avec une vitesse initiale horizontale. Elles rebondissent sur le sol en même temps, produisant un seul son
Galilée explique le mouvement d’un projectile en considérant les projections du mouvement selon deux directions perpendiculaires. Quand une balle est lancée horizontalement, elle ne subit aucune force horizontale, sa vitesse horizontale reste constante. En revanche, dans la verticale, elle n’a pas de vitesse initiale, elle suit un mouvement identique à une chute libre.
Galilée pose le problème du choix du référentiel, c’est-à-dire du corps solide par rapport auquel le mouvement se mesure :
«un boulet est lâché du sommet d’un mât d’un navire avançant par rapport à la côte à vitesse constante. Vu du navire : le boulet fait une chute verticale, le long du mât. Vu de la côte : le boulet décrit une parabole. » de l’air. Une fois de plus, il le prouva par l’expérience : il fit tomber des poids différents dans l’eau. La vitesse de chute variait grandement dans ce cas, car l’eau offrait une résistance plus élevée que l’air. De ces expériences il conclut que dans le vide, une plume tomberait aussi vite que du plomb. A son époque, cette affirmation devait rester sans preuve, car il était bien connu que la Nature avait horreur du vide. Il restait à son élève Torricelli de se débarrasser de ce préjudice aristotélicien.


En faisant toutes sortes d’expériences avec des pendules, Galilée fit la découverte qui donna lieu aux conséquences les plus importantes. Une balle de plomb et une balle de liège de la même taille, pendues à des fils de même longueur, se balançaient à la même vitesse. Cela était étonnant, car après tout, les oscillations d’un pendule sont un peu comme une chute, et les corps lourds devraient tomber plus vite que les corps légers. Galilée commença à suspecter que ce fait « évident » pourrait ne pas être vrai. Ses doutes le conduisirent aux fameuses expériences de la tour penchée, d’ou` il fit tomber des balles de toutes sortes. Elles frappaient le sol presque simultanément.

Un caillou arrivait au même moment qu’un boulet de canon, ou presque au même moment. Galilée perçut très vite la raison de cette inégalité des temps de chute : la résistance de l’air. Une fois de plus, il le prouva par l’expérience : il fit tomber des poids différents dans l’eau. La vitesse de chute variait grandement dans ce cas, car l’eau offrait une résistance plus élevée que l’air. De ces expériences il conclut que dans le vide, une plume tomberait aussi vite que du plomb. A son époque, cette affirmation devait rester sans preuve, car il était bien connu que la Nature avait horreur du vide. Il restait à son élève Torricelli de se débarrasser de ce préjudice aristotélicien.

> Pour en savoir plus

Extrait du titre Mécanique
de Jean-Philippe Ansermet
Publié aux Presses polytechniques et universitaires romandes

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