22/04/2011

Du zéro à la virgule

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Au Moyen Age, on ne disposait que des chiffres romains pour écrire un nombre. Alors pour faire un calcul, il fallait recourir aux jetons sur une table de compte. Et écrire ensuite le résultat, à nouveau, en chiffres romains.

Une première étincelle a jailli vers 1143, à Tolède. Des moines ont traduit en latin un document arabe expliquant « les neuf chiffres indiens », le zéro, la numération de position que nous décrirons par la suite, et les quatre opérations de base du calcul écrit.


Le document avait été écrit vers 825 (donc trois siècles auparavant) par un Persan installé à Bagdad, Al Khowarizmi. A l’heure actuelle il est perdu. On notera que ces traductions en latin reflétaient l’état de la question chez des Arabes vivant au début du neuvième siècle.

Une seconde étincelle a éclaté en 1202, quand Léonard de Pise a mis le point final à un énorme ouvrage manuscrit, qui présentait lui aussi les neuf chiffres indiens, le zéro, la numération de position, et les quatre opérations de base du calcul écrit. Il avait voyagé précédemment en Méditerranée, pour observer d’une part comment calculaient les marchands arabes, et d’autre part pour s’instruire au contact des mathématiciens arabes. Son texte reflétait donc l’état de la question chez les Arabes de la fin du douzième siècle.

Et il n’exposait pas seulement le nouveau calcul, mais tous les calculs auxquels pouvait être exposé un commerçant : règle de trois, problèmes de troc ou d’alliages, répartition du bénéfice entre associés, et l’on en passe.

Au début du 13e siècle, les traductions latines de Tolède étaient parvenues à Paris ; elles avaient été recopiées maintes fois dans des monastères depuis des dizaines d’années. Et là, deux moines en ont écrit des versions plus pédagogiques, l’une en vers rédigée par Alexandre de Villedieu, et l’autre en prose due à Jean de Sacrobosco. Depuis lors, le nouveau calcul a fleuri dans les écoles monastiques, devenues par la suite des universités. Mais seulement sous son aspect théorique, en n’intéressant que les érudits.

Depuis ce moment, les seules traces connues de ce « calcul de Tolède », par essence abstrait, sont les innombrables manuscrits de Villedieu et de Sacrobosco qui ont survécu, attestant du succès de ces ouvrages dans le monde limité des universités.

Quant à l’aspect concret du calcul, il a été développé en Italie, dès la fin du 13e siècle, comme conséquence de la seconde étincelle, due à Léonard de Pise. Et là ce sont les marchands qui s’y sont intéressés, et leurs fils qu’ils inscrivaient dans des « écoles de calcul ».

Pourquoi les marchands et pourquoi l’Italie ? D’abord parce que Léonard, qui avait ouvert la brèche, était italien. Mais aussi parce que le commerce international s’y était développé beaucoup plus tôt qu’ailleurs, avec une forte demande de calcul émanant des marchands. Et enfin parce que certains marchands devenus banquiers avaient encore plus besoin d’employés sachant calculer.

Cela fit que pendant tout le 14e siècle, Florence a été à la fois le centre de production des nouveaux ouvrages manuscrits qui enseignaient le calcul de Léonard, et l’endroit où se multipliaient les écoles de calcul. Ce n’est pas étonnant : la banque florentine dominait à l’époque toute l’Europe.

Ensuite, pendant tout le 15e siècle, l’Italie a encore été le leader en matière de calcul. Mais un nouveau départ de feu s’est produit en Allemagne au milieu du siècle : un boom économique y a provoqué un développement rapide du nouveau calcul. Si bien qu’à la fin du siècle, l’Allemagne était sur le point de rattraper l’Italie.

Puis au 16e siècle, tout s’est accéléré : des foyers de contamination se sont déclenchés en d’autres endroits, les ouvrages en italien et en allemand se sont multipliés, et il en est apparu en d’autres langues. L’Allemagne a maintenu et accentué son leadership. Et un jour un Flamand a inventé les fractions décimales, mettant fin au « commencement » que nous allons raconter.

La situation de départ

Avant d’entrer dans le vif du sujet, il est bon de décrire les « conditions initiales », comme on dit en physique, du problème que nous abordons. Celles-ci sont de trois ordres, ce qui nous amène à traiter trois sujets : d’abord rappeler comment on calculait au Moyen Age en Europe, avant l’arrivée des nouveaux chiffres et du nouveau calcul ; puis résumer les événements qui sont à l’origine de cette arrivée, et qui se situent au Proche-Orient ; et enfin préciser ce que sont ces chiffres qui vont dominer toute l’affaire, qu’on dit arabes mais qui sont en fait indiens, et montrer en quoi le zéro qui les accompagne a été tellement révolutionnaire et fondamental.

Le calcul au Moyen Age

Rappelons en quelques mots qu’au 12e siècle les habitants de l’Europe en étaient encore à noter les nombres en chiffres romains. C’était la seule numération disponible depuis plus de mille ans, et elle a perduré dans certains milieux pendant de nombreux siècles encore. C’était une première raison pour les médiévaux de ne pas pouvoir effectuer un calcul par écrit (essayez donc d’additionner MMDCCCLXVIII et MDCCLXXXVI en n’utilisant que des chiffres romains!). Et il s’y ajoutait une seconde raison : c’était l’absence de papier, qu’il soit noble ou « de brouillon », et l’extrême cherté des autres supports comme le parchemin.

L’abaque et les jetons

Ces gens recouraient donc à une sorte de machine à calculer élémentaire, l’abaque : une surface plane sur laquelle ils représentaient leurs nombres au moyen de jetons, qu’ils déplaçaient ensuite selon des règles précises pour réaliser une addition, une soustraction, et parfois même une multiplication.

Cette pratique leur venait des anciens Grecs, et leur avait été transmise par les Romains : dans des colonnes parallèles, ces derniers disposaient des cailloux (les calculi, qui nous ont donné le mot calcul), et plus tard des jetons. Par la suite, l’abaque avait fait un quart de tour, et c’est sur des lignes ou dans des bandes horizontales que l’on calculait au Moyen Age. Mais les colonnes des Grecs se sont peut-être maintenues à travers une autre descendance, comme on va le voir.

Et l’abaque a duré longtemps – il n’a disparu qu’à la Révolution – parce qu’il était beaucoup plus pratique que le calcul écrit pour les comptes en monnaie. Aucune monnaie n’était en effet décimale. La livre, par exemple, se divisait en vingt sous qui valaient chacun douze deniers. Or les reports d’une subdivision à l’autre, comme une « retenue » de douze deniers qui se transformait en un sou, étaient automatiques sur l’abaque, et relativement délicats par écrit. C’est un point qu’il faut souligner, car cela permet de comprendre pourquoi le nouveau calcul, dont il va être question, ne s’est pas répandu comme une traînée de poudre.

Quant aux raisonnements « arithmétiques » de plus haut niveau que le simple calcul, ils étaient dominés par la philosophie de Boèce : ce Romain avait vécu avant et après l’an 500, et avait laissé une riche production philosophique comprenant notamment une Institution arithmétique. Inspiré du Grec Nicomaque de Gérase, cet ouvrage a transmis l’enseignement pythagoricien sur les nombres à travers tout le Moyen Age. Mais il s’agissait essentiellement de raisonnements sur la nature des nombres, sans aucun objectif de calcul concret.

Pendant ce temps, à l’est…

La deuxième condition initiale nous amène à sortir d’Europe. L’origine de notre calcul écrit se situe en effet en Inde, vers le milieu du 5e siècle de notre ère, quand a été inventée la numération de position. Précédemment, les Indiens avaient déjà inventé neuf chiffres pour leurs calculs : ils les traçaient sur des abaques à colonnes décimales, esquissés d’abord dans du sable, puis dans de la poussière sur des planchettes, et plus tard dans de la cire sur des tablettes.

Ensuite, quand ils ont pu se débarrasser des colonnes grâce à l’invention géniale du zéro – un signe qui dit qu’il n’y a « rien » à l’emplacement que devrait occuper un chiffre, ce qui se traduisait précédemment dans leurs colonnes par un espace nu – ils ont créé la numération de position, qui utilisait cette fois dix chiffres et non plus neuf.

Et ils ont du même coup développé un nouveau calcul, écrit et libéré de l’abaque, beaucoup plus efficace que ce qui s’était fait précédemment.

A Bagdad, dès le 8e siècle

Deux siècles plus tard, vers 760 ou 770, le calcul indien et ses nouveaux chiffres ont commencé à s’introduire chez les Arabes. Leur première entrée s’est peut-être réalisée à l’occasion d’une visite rendue par des savants indiens au calife Al Mansur, à Bagdad en 773. Cette ville était alors au début de son âge d’or, sous la dynastie des Abbassides, une époque au cours de laquelle elle a joué un rôle de première importance dans l’activité intellectuelle du Proche-Orient, alors que l’Europe était encore plongée pour longtemps dans son Moyen Age.

Quelques années plus tard, sous le règne du calife Al Ma’mun (813-833) si l’on en croit Juschkewitsch5, est créée à Bagdad une Maison de la Sagesse, où s’installe un groupe de mathématiciens et d’astronomes6. L’un d’eux est persan, il semble avoir vécu de 780 à 850 environ7, et il est passé à la postérité sous le nom d’Al Khowarizmi. Il ne s’agit là que d’une partie de son identité, dont l’orthographe connaît de nombreuses variantes dans nos langues européennes, et qui est transcrite par exemple in extenso par le même Juschkewitsch sous la forme Abu’Abdallah Muhammad ibn Musa alHuwarizmi al-Magusi.

Ce nom le désigne à choix comme originaire du Khwarezm, un petit territoire de l’Ouzbékistan actuel, au sud de la mer d’Aral et à la frontière du Turkménistan, ou de la ville de Khwarezm, qui s’appelle actuellement Khiva et qui avait autrefois donné son nom au territoire qu’elle dominait…

> Pour en savoir plus

    Extrait du titre Du zéro à la virgule d'Alain Schärlig
Publié aux Presses polytechniques et universitaires romandes


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