21/12/2010

Savoir penser géométriquement

janpietruszk080600539.jpgLa géométrie est l’une des rares sciences, avec l’astronomie et l’arithmétique, dont l’origine remonte à l’Antiquité. Cette discipline n’a cessé d’être vivante, chaque génération de mathématiciens apportant son lot de découvertes fondamentales et d’applications les plus diverses.

C’est un sujet qui a toujours fait partie du bagage indispensable du scientifique et de l’ingénieur.

 


De nombreuses lois physiques s’expriment à partir de concepts géométriques. Euler a par exemple découvert le rôle joué par la notion géométrique de courbure dans l’étude des déformations des tiges élastiques. La science a énormément évolué depuis Euler, mais les notions géométriques les plus modernes et les plus avancées jouent toujours un rôle central en physique contemporaine : la théorie de la gravitation ou les théories de jauges (qui décrivent les interactions entre particules élémentaires) sont des exemples de théories géométriques : on parle de « géométrisation de la physique ».

Il n’y a d’ailleurs pas besoin d’être physicien théoricien pour être confronté à la géométrie : de nombreuses disciplines appliquées ou théoriques telles que l’infographie, la vision artificielle, l’analyse d’images et la tomographie, la navigation et la robotique, la cristallographie ou la modélisation des protéines, sans oublier l’imagerie de synthèse et d’autres disciplines artistiques, nécessitent une bonne maîtrise d’outils géométriques sophistiqués.

Mais la géométrie n’est pas qu’un instrument et il est important pour l’ingénieur et le scientifique de savoir penser géométriquement. Par exemple en algèbre, un système d’équations s’interprète comme un problème d’intersection entre une surface et une courbe, ou d’autres objets semblables. L’analyse hilbertienne est une géométrie en dimension infinie. En analyse toujours, un système d’équations différentielles s’interprète comme un champ de vecteurs sur un espace de phase. En mécanique, la dynamique hamiltonienne est une géométrie sur l’espace des phases. La cinématique peut être vue comme l’étude de la géométrie d’une courbe sur un groupe de transformations. Finalement, le scientifique et l’ingénieur ont besoin d’une bonne intuition géométrique du plan et de l’espace, et la pratique de la géométrie est certainement l’un des meilleurs moyens de développer cette intuition. Platon disait que la géométrie élève l’âme de celui qui l’étudie.

> Pour en savoir plus

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L'uteur :

Marc Troyanov effectue ses études à Genève où il obtient son doctorat en mathématiques en 1987. Il passe ensuite deux années de postdoc à Paris où il collabore avec l’Ecole polytechnique et l’Université d’Orsay, dont il obtient une habilitation. Il est ensuite visiting professor à Salt Lake City, puis professeur-assistant à l’Université du Québec à Montréal et il est nommé à l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL) en 1993. Il enseigne la géométrie et l’analyse. Son domaine de recherche est la géométrie différentielle.

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